今回は東北大学2026年度入試の物理第3問について、細かく解説していきます！問題は解説の都合上、部分的に掲載しておりますが、フルPDFが欲しい場合は大学のホームページや予備校のサイトから入手してください。
前提
[問(1)]
(a) 隣の光線との光路差
隣りあう光線の光路差は教科書通りの考え方ですね！図のように、垂線を引くと経路差が求められます。
$$ \color{black}{ \Delta l = d \sin \theta } $$
(b) 強め合う条件
続いて、隣りあう光線が強めあう時の条件を考えます。回折格子でそれぞれの光線は同位相のため、(a)で求めた光路差が波長の整数倍であればOK！
$$ \color{black}{d \sin \theta _m = m \lambda } $$
$$ \color{black}{ \sin \theta _m = \frac{m \lambda }{d} } $$
|𝜃| << 1より、
$$ \color{black}{ \theta _m \fallingdotseq \sin \theta _m = \frac{m \lambda }{d} } $$
$$ \color{black}{ \therefore \alpha = \frac{ \lambda }{d} } $$
[問(2)]
(a) 溝を通った光線の回折
溝を通った光線の回折は回折格子1として考えます。問(1)と同様に、隣り合う光線の光路差を考えましょう！間隔が2𝑑になったことを考慮すると光路差は、
$$ \color{black}{2d \sin \theta ’_m} $$
さらに、問(1)と同様に近似をして、強め合う条件も考えると、
$$ \color{black}{2d \sin \theta ’_m = m \lambda } $$
$$ \color{black}{ \theta ’_m \fallingdotseq \sin \theta ’_m =\frac{m \lambda }{2d} } $$
$$ \color{black}{ \alpha ‘ = \frac{ \lambda }{2d} } $$
これは回折格子1が強め合う条件であり、回折格子2も感覚が等しいため、回折格子2の強め合う条件でもあることに注意しましょう！
(b) 隣りあう光線の光路差
左の図を見て、隣りあう光線の光路差を求めていきましょう！𝑆0の青線部分の光路長は、
$$ \color{black}{l_0 = an + d \sin \theta ’_m} $$
𝑆1の赤線部分の光路長は、
$$ \color{black}{l_1 = b + (a-b)n} $$
$$ \color{black}{ \Delta l’ = l_0 – l_1 = d \sin \theta ’_m + b(n-1)} $$
(a)の結果も考慮すると、
$$ \color{black}{ \Delta l’ = \frac{m \lambda }{2} + b(n-1)} $$
(c) ガラス平板を取り付けて光線が同位相の場合
ここまでを整理すると、回折格子1と回折格子2それぞれが強めあう時の2つの回折格子の光路差が𝛥𝑙’であることを求めました。𝜃=0で2つの回折格子からの光線は強めあうため、𝑘を整数として、
$$ \color{black}{ \Delta l’ = d \sin 0 + b(n-1) = b(n-1) = k \lambda } $$
𝜃=𝜃’𝑚でも強め合う時、2つの回折格子の光路差𝛥𝑙’が波長の整数倍であればOKです！
$$ \color{black}{ \Delta l’ = \frac{m \lambda }{2} + b(n-1) = \left ( \frac{m}{2} + k \right ) \lambda } $$
$$ \color{black}{ \therefore m = 2, 4, 6} $$
(d) ガラス平板を取り付けて光線が逆位相の場合
(c)とは逆に𝜃=0で2つの回折格子からの光線は弱めあうため、𝑘を整数として、
$$ \color{black}{ \Delta l’ = d \sin 0 + b(n-1) = b(n-1) = \left ( k + \frac{1}{2} \right ) \lambda } $$
𝜃=𝜃’𝑚で強め合う時、2つの回折格子の光路差𝛥𝑙’が波長の整数倍であればOKです！
$$ \color{black}{ \Delta l’ = \frac{m \lambda }{2} + b(n-1) = \left ( \frac{m}{2} + k + \frac{1}{2} \right ) \lambda } $$
$$ \color{black}{ \therefore m = 1, 3, 5} $$
(e) 電磁波の式
回折格子1から観測された光𝐸1は回折格子2から観測された光𝐸2の光路差𝛥𝑙’だけ遅れた光と等しいため、𝑡=𝑡で𝑥=-𝛥𝑙’の位置にいた波𝐸2が𝑡=𝑡0で𝑥=0に到達した波𝐸1とすると、
$$ \color{black}{t_0 – t = \frac{ \Delta l’}{c} } $$
$$ \color{black}{t_0 = t + \frac{ \Delta l’}{c} } $$
$$ \color{black}{E_2 = A \sin \omega t_0} $$
$$ \color{black}{E_1 = A \sin \omega \left ( t + \frac{ \Delta l’}{c} \right ) } $$
ここで、波動の波長と振動数の関係から、
$$ \color{black}{ \frac{ \omega }{2 \pi } \lambda = c \Leftrightarrow \frac{ \omega }{c} = \frac{2 \pi }{ \lambda } } $$
$$ \color{black}{E_1 = A \sin \left ( \omega t + \frac{2 \pi \Delta l’}{ \lambda } \right ) } $$
$$ \color{black}{ \therefore \phi = \frac{2 \pi \Delta l’}{ \lambda } } $$
(f) 重ね合わせた電磁波の式
問題文通り、2つの波を足し合わせて加法定理を使用しましょう！
$$ \color{black}{E’ = E_1 + E_2 = A \left \{ \sin \left ( \omega t + \phi \right ) + \sin \omega t \right \} } $$
ここで、加法定理から、
$$ \begin{align}
\color{black}{ \sin \left ( \omega t + \phi \right ) + \sin \omega t } & \color{black}{=} \color{black}{2 \sin \frac{ \omega t + \phi + \omega t}{2} \cos \frac{ \omega t + \phi – \omega t}{2} } \\
& \color{black}{=} \color{black}{2 \cos \frac{ \phi }{2} \sin \left ( \omega t + \frac{ \phi }{2} \right )}
\end{align} $$
よって、
$$ \color{black}{E’ = A \left \{ \sin \left ( \omega t + \phi \right ) + \sin \omega t \right \} = 2A \cos \frac{ \phi }{2} \sin \left ( \omega t + \frac{ \phi }{2} \right )} $$
$$ \color{black}{ \therefore A’ = 2A \cos \frac{ \phi }{2} , \phi ‘ = \frac{ \phi }{2} } $$
(g) ガラス平板を取り付けた時のグラフ
𝑛, 𝑎, 𝑏の値を代入すると、
$$ \color{black}{ \Delta l’ = \frac{m \lambda }{2} + \frac{1}{4} \lambda , \phi = \left ( m + \frac{1}{2} \right ) \pi } $$
$$ \color{black}{A’^2 = 4A^2 \cos ^2 \frac{2m+1}{4} \pi = 2A^2 \left ( 1 + \cos \frac{2m+1}{2} \pi \right ) = 2A^2 ( \because m \in \mathbb{Z} )} $$
よって、𝜃=𝜃’𝑚は任意の𝑚で光の強さは一定であることがわかります！また、問(1)(a)、問(2)(a)から、
$$ \color{black}{ \theta’_m = \frac{1}{2} \theta _m } $$
よって、間隔は図2の半分になることがわかります！
以上から、(ウ)と決めることができます。回折格子1と2それぞれは強めあう条件を満たすが、回折格子1と2同士は同位相ではないことに注意！⚠️⚠️勘違いすると、記号の選択が複雑化してしまいます……（𝜃=𝜃’𝑚は回折格子1と2それぞれは強めあう条件のため）
あとがき
いかがでしたでしょうか？よく出る光の干渉から始まって、回折格子の組み合わせと電磁波の式で合成を考えるという展開でした。1つ1つの問題は簡単な方でしたが、後半につれ複雑になっていくため、状況の整理ができると問題が解けるようになっていくと思います！また、指定文字がコロコロ変わるため気をつけましょう！⚠️