今回は東京科学大学(旧東工大)2026年度入試の物理第3問について、細かく解説していきます！問題は解説の都合上、部分的に掲載しておりますが、フルPDFが欲しい場合は大学のホームページや予備校のサイトから入手してください。
前提
[A] 状態1から状態2
(a) 状態1と状態2の気体の物質量
各状態で気体の状態方程式より、(液体と共存している部分の物質量に注意⚠️⚠️)
$$ \color{black}{p_0 V_1 = nRT_0} $$
$$ \color{black}{p_0 V_2 = (n – n_l) RT_0} $$
$$ \color{black}{ \therefore n = \frac{p_0 V_1}{RT_0} , n_l = \frac{p_0 (V_1 – V_2)}{RT_0} } $$
(b) 状態1から状態2で気体がされた仕事
低圧変化では気体がした仕事𝑊は、
$$ \color{black}{W = p \Delta V} $$
よって、状態1から2で気体がされた仕事は、
$$ \color{black}{W_{12} = -p_0 (V_2 – V_1) = p_0 (V_1 – V_2)} $$
(c) 状態1から状態2の内部エネルギーの変化
状態1→状態2では、気体の温度は変わらず、一部が液体になった部分が内部変化と等しくなります。凝縮により気体から発生する熱は潜熱（凝縮熱）であることに注意して、熱力学第一法則より、
$$ \color{black}{-n_lL = \Delta U_{12} – W_{12}} $$
$$ \color{black}{ \therefore \Delta U_{12} = W_{12} – n_lL = n_l (RT_0 – L)} $$
[B] 状態2から状態3
(d) 状態2から状態3で気体が放出した熱量
状態2から状態3では、ピストンを固定しているため定積変化であることに注意すると、熱力学第一法則より、
$$ \color{black}{Q_{23} = \Delta U} $$
ここで、気体の内部エネルギー変化量は、
$$ \color{black}{ \Delta U = (液体から気体になる部分) + (気体の温度上昇による部分)} $$
$$ \color{black}{ \therefore \Delta U = – \Delta U_{12} + nC_v \Delta T} $$
以上から、
$$ \color{black}{ Q_{23} = nC_v \Delta T – \Delta U_{12}} $$
[C] 状態3から状態4と熱効率
(e) 熱サイクルの各状態
各状態を整理すると左のようになります！
𝑉1 > 𝑉2であることに注意すると、
- (i), (iii)に状態2 or 状態3
- (ii), (iv)に状態1 or 状態4
また、各圧力は必ず飽和蒸気圧より大きいため、
$$ \color{black}{p_3 > p_0} $$
$$ \color{black}{p_4 > p_0} $$
以上から、(i)：状態3・(ii)：状態4・(iii)：状態2・(iv)：状態1となります。
このように、状態3, 状態4の各物理量や状態3から状態4の具体的な変化の様子がわからなくても、ここまでの問題の流れを整理すれば解ける問題もあるので、落ち着いて思考しましょう！！🔥🔥
(f) 状態4の気体の温度
この断熱変化は、問題にある公式を利用して、
$$ \color{black}{p_３ V_2^ \gamma = p_4 V_1^ \gamma } $$
また、状態3と状態4の状態方程式より、
$$ \color{black}{p_3 V_2 = nR(T_0+ \Delta T)} $$
$$ \color{black}{p_4 V_1 = nRT_4} $$
$$ \color{black}{ \therefore T_4 = \frac{p_4 V_1}{nR} = \frac{p_3 V_2^ \gamma }{V_1^{ \gamma – 1} nR} = \left ( \frac{V_2}{V_1} \right ) ^{ \gamma – 1} (T_0 + \Delta T)} $$
気体の比熱比の定義より、
$$ \color{black}{ \gamma = \frac{C_v + R}{C_v} } $$
$$ \color{black}{ \therefore T_4 = \left ( \frac{V_2}{V_1} \right ) ^ \frac{R}{C_v} (T_0 + \Delta T)} $$
(g) 熱サイクルの正味の仕事
正味の仕事は、熱運動で気体がした仕事の合計ですね。状態2→状態3と状態4→状態1は定積変化のため、気体は仕事をしません！状態3→状態4は断熱変化のため気体がした仕事は、内部エネルギー変化量𝛥𝑈34、気体がした仕事𝑤34として、
$$ \color{black}{0 = \Delta U_{34} + w_{34}} $$
$$ \color{black}{ \therefore w_{34} = – \Delta U_{34} = – \frac{3}{2} nR(T_4 – T_0 – \Delta T)} $$
(b)より、熱サイクルの正味の仕事(熱運動で気体がした仕事の合計)𝑊𝑒は、
$$ \color{black}{W_e = w_{34} – W_{12} = nC_v(T_0 + \Delta T – T_4) – W_{12}} $$
$$ \color{black}{ \therefore W_e = nC_v(T_0 + \Delta T – T_4) – n_lRT_0} $$
(h) 具体的な値を代入しての熱効率
| 状態1→状態2 | 温度調節器に熱を放出 |
| 状態2→状態3 | 温度調節器から熱を吸収 |
| 状態3→状態4 | 温度調節器との熱のやり取りなし |
| 状態4→状態1 | 温度調節器に熱を放出 |
以上から、気体が熱を吸収したのは状態2→状態3のみで熱量は𝑄23のため、この熱サイクルの熱効率は、
$$ \color{black}{e = \frac{W_e}{Q_{23}} } $$
$$ \color{black}{ \therefore e = \frac{2}{29} } $$
あとがき
いかがでしたでしょうか？潜熱（凝縮熱）が出てきたことで少し驚きましたが、(c)が解けなくてもそれ以外の問題は全て解くことができます。いつも通りの基本的な熱力学第一法則と状態方程式などの立式をしっかりして1つ1つ解いていきましょう！問題を解く際に、各状態の物理量や大小関係、各変化の外部との熱のやり取りの有無などを表でまとめられるとよりVery Good!!!👌です。