今回は東京科学大学(旧東工大)2026年度入試の物理第1問について、細かく解説していきます！問題は解説の都合上、部分的に掲載しておりますが、フルPDFが欲しい場合は大学のホームページや予備校のサイトから入手してください。
前提
物体Qを固定している時の運動
(a) 最も近づいた時の速さ
保存力のみ仕事をするため、力学的エネルギーを考えましょう！物体同士の距離がばねの伸びと同値にならないことに注意しましょう！！⚠️⚠️
$$ \color{black}{ \frac{1}{2} mV_0^2 + \frac{1}{2} k(h-l)^2 = \frac{1}{2} k(2h-l)^2} $$
$$ \color{black}{ \therefore V_0 = \sqrt{ \frac{k(3h-2l)h}{m} } } $$
(b) 物体Pのx方向の力
左図のように𝜃をおくと、
$$ \color{black}{ \cos \theta = \frac{x_P}{ \sqrt{h^2+x_P^2} } } $$
弾性力の向きは左図のようになるため、x方向の成分は、
$$ \color{black}{F_x = -k( \sqrt{h^2+x_P^2} – l) \cdot \cos \theta } $$
$$ \color{black}{ \therefore F_x = -kx_P \left ( 1 – \frac{l}{ \sqrt{h^2+x_P^2} } \right ) } $$
(c) 物体Pが単振動する時の周期
(b)に、近似を用いて、
$$ \color{black}{|x_P| \lt A \lt \lt h より、} $$
$$ \color{black}{ \sqrt{h^2+x_P^2} = h \sqrt{1 + \left ( \frac{x_P}{h} \right )^2 } \fallingdotseq h} $$
$$ \color{black}{ \therefore F_x \fallingdotseq -k \left ( 1 – \frac{l}{h} \right ) x_P } $$
単振動の比例定数𝐾を用いて、
$$ \color{black}{K = k \left ( 1 – \frac{l}{h} \right ) } $$
$$ \color{black}{T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{K} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k \left ( 1 – \frac{l}{h} \right )} } } $$
固定を外して、レールを近づけた時の運動
(d) 物体P, Qの位置関係が逆になる時の初期位置
物体P, Qはともにストッパーがないため、左右対称で運動します。左右の位置関係が逆になる時、𝑥𝑃=𝑥𝑄=0の時に速さ𝑣>0になります。
$$ \color{black}{ \frac{1}{2} k ( \sqrt{h^2+4B^2} – l)^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} k(h-l)^2 } $$
$$ \color{black}{ \frac{1}{2} k ( \sqrt{h^2+4B^2} – l)^2 \gt \frac{1}{2} k(h-l)^2 } $$
物体P, Qは内側に向かって動き出すため、最初の状態でばねは伸びています！よって、
$$ \color{black}{ \sqrt{h^2+4B^2} – l \gt 0} $$
$$ \color{black}{ \therefore | \sqrt{h^2+4B^2} – l| \gt |h-l|} $$
$$ \color{black}{ \sqrt{h^2+4B^2} – l \gt l – h} $$
$$ \color{black}{ \therefore B \gt \sqrt{l(l-h)} } $$
$$ \color{black}{ B_0 = \sqrt{l(l-h)} } $$
ちなみに、左右の位置関係が逆にならないとき、以下のような動きになります！⚠️⚠️
物体Pの片方が固定されている時の運動
(e) 物体が動き出す時の物体2の位置と速さ
物体Pに右側に力がはたらき始めるとき、ばねが自然長より短くなります！ということで、求める値の時のばねの長さは𝑙になりますね。3平方の定理より、
$$ \color{black}{l^2 = h^2 + x_1^2} $$
$$ \color{black}{ \therefore x_1 = – \sqrt{l^2 – h^2} ( \because x_1 < 0 ) } $$
また、力学的エネルギー保存則より、
$$ \color{black}{ \frac{1}{2} k( \sqrt{C^2+h^2} – l)^2 = \frac{1}{2} mV_1^2} $$
$$ \color{black}{ \therefore V_1 = \sqrt{ \frac{k}{m} } ( \sqrt{C^2+h^2} – l) } $$
(f) 物体Qが物体Pを追い越す場合について
物体Qが物体Pを追い越す場合、𝑥𝑝=𝑥𝑞の時のP, Qの速度はQの方が大きいということが条件です！
𝑥𝑝=𝑥𝑞の時のP, Qの速度をそれぞれ𝑉𝑝, 𝑉𝑞として、エネルギー保存力より、
$$ \color{black}{ \frac{1}{2} mV_1^2 = \frac{1}{2} mV_p^2 + \frac{1}{2} mV_q^2 + \frac{1}{2} k(h-l)^2 } $$
𝑥軸方向の運動量保存則より、
$$ \color{black}{mV_1 = mV_p + mV_q} $$
ここで、𝑉1=𝑉2のとき、𝑉𝑝=𝑉𝑞になることに注意して、
$$ \color{black}{ \therefore V_2 = \sqrt{ \frac{2k}{m} (h-l)^2} = (l-h) \sqrt{ \frac{2k}{m} } ( \because l > h) } $$
(g) 物体Qが物体Pを追い越す場合の物体Qの初期位置
𝑉1>𝑉2であることと、(e), (f)の式を合わせると、
$$ \color{black}{ V_1 = \sqrt{ \frac{k}{m} } ( \sqrt{C^2+h^2} – l) \gt (l-h) \sqrt{ \frac{2k}{m} } = V_2} $$
ここで、問題文の条件を加えると、
$$ \color{black}{ \sqrt{ \frac{k}{m} } ( \sqrt{C^2+ \frac{1}{2} l^2} – l) \gt (l – \frac{1}{ \sqrt{2} } l) \sqrt{ \frac{2k}{m} } } $$
$$ \color{black}{ \therefore C \gt \sqrt{ \frac{3}{2} } l} $$
$$ \color{black}{C_0 = \sqrt{ \frac{3}{2} } l} $$
あとがき
いかがでしたでしょうか？ばねで繋がれた2つの物体が相互に力を及ぼしあいながら動くという少し複雑な問題でした。ただ、動きに関して式を用いて求めるというよりかは、ある特定の条件やタイミングでの値を導出するものが多いため、ご自身で条件を固定して式を立てていくとスラスラと解けるでしょう！とはいうものの、全体の動きのイメージは思いつくと解きやすいと思うので、是非ともこの動画を使って、イメージを作ってみてください！！