今回は東北大学2025年度入試の物理第1問について、細かく解説していきます！問題は解説の都合上、部分的に掲載しておりますが、フルPDFが欲しい場合は大学のホームページや予備校のサイトから入手してください。
前提
[問(1)] 台の左側での小球の運動
(a) 小球が静止するときのばねの縮み
静止している=力のつりあいを考える！
ということで、小球の力を図示すると左のようになるため、斜面に対して水平方向の力のつり合いより、
$$ \color{black}{mg \sin \theta = kd} $$
$$ \color{black}{ \therefore d = \frac{mg \sin \theta }{k} } $$
(b) ばねを縮めて弾き、ばねから離れるときの速さ
位置から物体の速さの変化を求めるときは、エネルギーと仕事の関係式から考えましょう！今回は、非保存力が仕事をしていないため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。点Bを位置エネルギーの基準面として力学的エネルギー保存則より、
$$ \color{black}{ \frac{1}{2} mv_0^2 = \frac{1}{2} k(3d)^2 – mg \cdot 3d \sin \theta } $$
$$ \color{black}{ \therefore v_0 = d \sqrt{ \frac{3k}{m} } } $$
(c) 斜面を上った後の小球の速さ
小球が斜面を上っている間も非保存力は仕事をしていないため、(b)と同様に力学的エネルギー保存力から、
$$ \color{black}{ \frac{1}{2} mv_1^2 + mgR \cos \theta = \frac{1}{2} mv_0^2} $$
$$ \color{black}{ \therefore \sqrt{v_0^2 – 2gR \cos \theta } } $$
(d) 円形部分で台から離れない条件
台から離れないとき、C〜Eでは点O中心の円運動をします。垂直抗力を𝑁として小球が点Cにいるときの運動方程式より、
$$ \color{black}{m \frac{v_1^2}{R} = mg \cos \theta – N} $$
$$ \color{black}{ \therefore N = m \left( g \cos \theta – \frac{v_1^2}{R} \right) } $$
ここで、𝑁 ≧ 0より、
$$ \color{black}{m \left( g \cos \theta – \frac{v_1^2}{R} \right) \geqq 0} $$
$$ \color{black}{ \therefore v_1 \leqq \sqrt{gR \cos \theta } } $$
よって、
$$ \color{black}{v_c = \sqrt{gR \cos \theta } } $$
(e) 台から離れて、台に着地するための条件
C〜Eの運動は左のような放物運動になります。この放物運動を水平成分と鉛直成分に分けて考えると、
$$ \color{black}{点Cでの水平成分の速さ：v_1 \cos \theta } $$
$$ \color{black}{点Cでの鉛直成分の速さ：v_1 \sin \theta } $$
$$ \color{black}{水平成分の変位： 2R \sin \theta } $$
$$ \color{black}{鉛直成分の変位： 0} $$
C〜Eの経過時間を𝑡とし、これらを用いて等速度運動と等加速度運動の公式を立てると、
$$ \color{black}{v_1 t \cos \theta = 2R \sin \theta } $$
$$ \color{black}{v_1 t \sin \theta – \frac{1}{2} gt^2 = 0} $$
$$ \color{black}{ \therefore t = \frac{2v_1 \sin \theta }{g} = \frac{2R \sin \theta }{v_1 \cos \theta } , v_1 = \sqrt{ \frac{gR}{ \cos \theta } } } $$
ここで、(c)の結果を用いると、
$$ \color{black}{v_1 = \sqrt{v_0^2 – 2gR \cos \theta } = \sqrt{ \frac{gR}{ \cos \theta } } } $$
$$ \color{black}{ \therefore v_0 = \sqrt{gR \left( 2 \cos \theta + \frac{1}{ \cos \theta } \right) } } $$
[問(2)] 台の右側での運動
(a) 小球と小物体の衝突後の速さ
物体の衝突という問題が出たら、運動量保存則と反発係数の式を立てましょう！ここで、文字は全て“速度”で置くことを推奨します！(衝突後の向きが不定のため)
今回、問題文で与えられた文字が“速さ”であるため、衝突後の小物体と小球の速度をそれぞれ𝑉, 𝑣として運動量保存則より、
$$ \color{black}{mv_0 = mv + MV} $$
小物体と小球は弾性衝突のため、反発係数の式より、
$$ \color{black}{1 = \frac{V-v}{v_0} } $$
$$ \color{black}{ \therefore V = \frac{2m}{M+m} v_0, v = \frac{m-M}{M+m} v_0} $$
ここで、𝑀 > 𝑚より、
$$ \color{black}{v_2 = |v| = \frac{M-m}{M+m} v_0} $$
$$ \color{black}{V_2 = |V| = \frac{2m}{M+m} V_0} $$
(b) 小物体が停止するまでに滑った距離
点Fから小物体は位置エネルギーを運動エネルギーに変換するものの、それ以上に摩擦力が負の仕事をするため小物体は静止します。このエネルギーと仕事の関係を動摩擦力を𝑓とし、位置エネルギーの基準面を点Gとして立式すると、
$$ \color{black}{0 – \left( \frac{1}{2} mV_2^2 + mgL \sin \theta \right) = – fL} $$
垂直抗力を𝑁として斜面に垂直成分の力のつり合いより、
$$ \color{black}{N = mg \cos \theta } $$
また、動摩擦力𝑓は、
$$ \color{black}{f = \mu ‘ N = \mu ‘ mg \cos \theta } $$
よって、
$$ \color{black}{0 – \left( \frac{1}{2} mV_2^2 + mgL \sin \theta \right) = – \mu ‘ mgL \cos \theta } $$
$$ \color{black}{ \therefore L = \frac{V_2^2}{2g( \mu ‘ \cos \theta – \sin \theta )} } $$
(c) 反発した小球が台に接したまま運動する条件
まず、台に接したまま最高点Dに達する条件は、次の2つを満たすと整理しましょう！
- 点Dの高さで小球の運動エネルギーが正である
- D〜Eで点Oを中心とした円運動をする
点Dの高さでの小球の運動エネルギーを𝐾とし、位置エネルギーの基準面を点Fとしてエネルギー保存則より、
$$ \color{black}{K + mgR = \frac{1}{2} mv_2^2} $$
$$ \color{black}{ \therefore K = \frac{1}{2} mv_2^2 – mgR} $$
𝐾 > 0より、
$$ \color{black}{K = \frac{1}{2} mv_2^2 – mgR \gt 0} $$
$$ \color{black}{ \therefore v_2 \gt \sqrt{2gR} } $$
D〜Eでの速さを𝑣𝐷𝐸として、問(1)(c)と同様に運動方程式を立てると、
$$ \color{black}{m \frac{v_{DE}^2}{R} = mg \cos \theta – N} $$
$$ \color{black}{ \therefore N = mg \cos \theta – m \frac{v_{DE}^2}{R} } $$
𝑁 ≧ 0より、
$$ \color{black}{N = mg \cos \theta – m \frac{v_{DE}^2}{R} \geqq 0} $$
$$ \color{black}{ \therefore v_{DE} \leqq \sqrt{gR \cos \theta } } $$
D〜Eで最も速さが大きいのは点Eにいるときのため、点Eの時の速さを𝑣𝐸として問(1)(c)と同様に力学的エネルギー保存則を立てると、
$$ \color{black}{ \frac{1}{2} mv_E^2 + mgR \cos \theta = \frac{1}{2} mv_2^2} $$
$$ \color{black}{ \therefore v_E = \sqrt{v_2^2 – 2gR \cos \theta } } $$
よって、
$$ \color{black}{ \sqrt{v_2^2 – 2gR \cos \theta } \leqq \sqrt{gR \cos \theta } } $$
$$ \color{black}{ \therefore v_2 \leqq \sqrt{3gR \cos \theta } } $$
以上をまとめると、
$$ \color{black}{ \sqrt{2gR} \lt v_2 \leqq \sqrt{3gR \cos \theta } } $$
最後に、𝜃 = 45°に注意して、
$$ \color{black}{v_a = \sqrt{2gR} } $$
$$ \color{black}{v_b = \sqrt{ \frac{3}{ \sqrt{2} } gR} } $$
(d) 2つの質量による小球の最高点
$$ \color{black}{x = \frac{M}{m} } $$
とおくと、点Fでの運動エネルギー𝐾𝐹は、
$$ \color{black}{K_F = \frac{1}{2} mv_2^2 = \frac{1}{2} m \left ( \frac{x-1}{x+1} v_0 \right ) ^2 = \frac{1}{2} m \left ( 1 – \frac{2}{x+1} \right ) ^2 v_0^2 } $$
𝐾𝐹から読み取れることをまとめると、
- 最高点までの高さが点Fでの運動エネルギーに比例して𝑥>1で𝑅まで単調増加
- 点Fでの運動エネルギーは𝑥の一次関数ではない
→(お)(か)(き)(く)
そして、問(2)(c)から𝑥が大きくなるにつれ𝑣2が大きくなり、小球は𝑅に到達します。→(あ)(い)(お)(か)
更に、大きくなると、点Eで台から離れることを考慮しましょう！→(あ)(う)(お)(き)
以上から、答えは(お)に絞れます。
あとがき
いかがでしたでしょうか？斜面の運動・放物運動・円運動・摩擦力・物体の衝突と力学オールスターズな問題でしたが、各小問ごとの条件や前後の状態を整理すると簡単に問題が解けるようになると思います！一つ一つ考えれば、簡単に見えるのは物理の特徴ですので、問題の解釈と細分化を意識して復習しましょう！！