今回は東京大学2025年度入試の物理第3問について、細かく解説していきます！問題は解説の都合上、部分的に掲載しておりますが、フルPDFが欲しい場合は大学のホームページや予備校のサイトから入手してください。
前提
[Ⅰ] 断熱容器内に固定壁がない場合
(1) 初期段階の運動エネルギーと内部エネルギー
非常にシンプルな問題なので、以下の公式に当てはめていきましょう！
$$ \color{black}{K = \frac{1}{2} m v^2} $$
$$ \color{black}{U = \frac{3}{2} nRT} $$
ここで、断熱容器内の気体は1モルで、それ以外の物理量も𝑡=𝑡0に当てはめると、
$$ \color{black}{K_0 = \frac{1}{2} mv_0^2} $$
$$ \color{black}{U_0 = \frac{3}{2} RT_0} $$
(2) 台車が止まったときの温度
まず、𝑡=𝑡1の気体の内部エネルギーは(1)と同様に考えると、
$$ \color{black}{U_1 = \frac{3}{2} RT_1} $$
$$ \color{black}{ \therefore \frac{T_1}{T_0} = \frac{U_1}{U_0} } $$
そして、𝑡=𝑡0から𝑡1で台車がピストンを押して運動エネルギーを失った分、ピストンは気体に仕事をします。そのため、台車と気体を合わせた体系でエネルギーが保存すると考えればシンプル化できます！
台車と気体のエネルギー保存則より、
$$ \color{black}{K_0 + U_0 = U_1} $$
両辺を𝑈0で割ることで、
$$ \color{black}{ \frac{T_1}{T_0} = \frac{U_1}{U_0} = \frac{K_0 + U_0}{U_0} } $$
ピストンと気体のエネルギーの変化をグラフ化すると左のようになりますね！
【別解】熱力学第一法則で表すと、内部エネルギーの変化𝛥𝑈、気体のした仕事-𝐾0、外部から熱のやりとりが無いため、
$$ \color{black}{ \Delta U = U_1 – U_0} $$
$$ \color{black}{ 0 = \Delta U – K_0} $$
(3) 台車が止まったときの体積
断熱変化で体積を考えるときは、ポアソンの法則を使いましょう！𝑡=𝑡0, 𝑡1の圧力をそれぞれ𝑝0, 𝑝1とすると、
$$ \color{black}{p_0 V_0^{ \frac{5}{3} } = p_1 V_1^{ \frac{5}{3} }} $$
また、ボイルシャルルの法則より、
$$ \color{black}{ \frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p_1 V_1}{T_1} } $$
よって、𝑝0, 𝑝1を削除すると、
$$ \color{black}{V_0^{ \frac{2}{3} } T_0 = V_1^{ \frac{2}{3} } T_1} $$
$$ \color{black}{ \therefore \frac{V_1}{V_0} = \left ( \frac{T_0}{T_1} \right )^{ \frac{3}{2} } } $$
(4) 台車の速度のグラフ
速度→変位→体積変化→圧力変化→加速度変化として式を変形すれば、速度を時間の式にできそうですが、かなり複雑ですので、以下の2つのポイントに絞ってグラフを選択していきたいと思います。
𝑡=𝑡0では、気体の圧力と大気圧が一定のため、ピストンはつり合っている→加速度が0となり、グラフの傾きは0→③⑥⑨
𝑡=𝑡1では、気体の圧力が大気圧より大きいため、ピストンの加速度は左向きとなり、グラフの傾きは負→絞れませんでした…
この運動は気体と台車の力学的エネルギーが保存するため、𝑡=𝑡2で気体が元の状態に戻った時に台車の速さも元に戻る→𝑣=-𝑣0→①②③
以上から、答えは③に絞れます。
[Ⅱ] 断熱容器内に固定壁がある場合
(1) 台車が戻ってくる間の内部エネルギーの変化
Ⅰ(2)と同様に、エネルギー保存則から、
$$ \color{black}{ \frac{3}{2} RT_3 = K_4 + \frac{3}{2} RT_4} $$
$$ \color{black}{ \therefore K_4 = \frac{3}{2} R(T_3 – T_4)} $$
(2) 各時刻の温度の大小関係
各時刻のエネルギーを以下のように文字で置くと、
| 時刻 | 台車の運動エネルギー | 左側の内部エネルギー | 右側の内部エネルギー |
| 𝑡=𝑡0 | 𝐾0 | 𝑈0 | 𝑈0 |
| 𝑡=𝑡1 | 0 | 𝑈1 | 𝑈0 |
| 𝑡=𝑡3 | 0 | 𝑈3 | 𝑈3 |
| 𝑡=𝑡4 | 𝐾4 | 𝑈4 | 𝑈3 |
$$ \color{black}{U_X = \frac{3}{2} RT_X} $$
各変化のエネルギーが保存するため、
$$ \color{black}{K_0 + 2U_0 = U_0 + U_1 = 2U_3 = K_4 + U_3 + U_4} $$
これを用いて、各内部エネルギーを計算していくと、
$$ \color{black}{U_1 = U_0 + K_0 \gt U_0} $$
$$ \color{black}{U_3 = U_0 + \frac{1}{2} K_0 \gt U_0} $$
$$ \color{black}{U_4 = U_3 – K_4 \lt U_3} $$
$$ \color{black}{2U_3 = U_0 + U_1 \lt 2U_1} $$
$$ \color{black}{ \therefore T_0 \lt T_3 \lt T_1} $$
ここで、断熱変化よりポアソンの法則から、
$$ \color{black}{V_0^{ \frac{2}{3} } T_0 = V_1^{ \frac{2}{3} } T_1} $$
$$ \color{black}{V_1^{ \frac{2}{3} } T_3 = V_0^{ \frac{2}{3} } T_4} $$
整理すると、
$$ \color{black}{ \left ( \frac{V_1}{V_0} \right )^{ \frac{2}{3} } = \frac{T_0}{T_1} = \frac{T_4}{T_3} } $$
$$ \color{black}{ \therefore T_4 = \frac{T_3}{T_1} T_0 \lt T_0} $$
最後にまとめると、
$$ \color{black}{ \therefore T_4 \lt T_0 \lt T_3 \lt T_1} $$
ピストンと気体のエネルギーの変化をグラフ化すると下のようになりますね！
【別解】ちょーーーーー直感的に考えると、𝑡0<𝑡<𝑡1では、断熱圧縮のため、
$$ \color{black}{U_0 \lt U_1} $$
𝑡1<𝑡<𝑡3では、左から右に熱が移動して、温度が均一になったため、
$$ \color{black}{U_0 \lt U_3 \lt U_1} $$
𝑡3<𝑡<𝑡4では、断熱膨張のため、
$$ \color{black}{U_4 \lt U_3} $$
𝑡=𝑡0と𝑡=𝑡4では、断熱変化で同じ体積だが、右側に熱が奪われている(これだけでは理由としては不十分ですが…)ため、
$$ \color{black}{U_4 \lt U_0} $$
$$ \color{black}{ \therefore T_4 \lt T_0 \lt T_3 \lt T_1} $$
(3) この気体によるピストンの反発係数
ポアソンの法則から出た式を変形して、
$$ \color{black}{ \left ( \frac{V_1}{V_0} \right )^{ \frac{2}{3} } = \frac{T_0}{T_1} = \frac{T_4}{T_3} \Leftrightarrow \frac{U_0}{U_1} = \frac{U_4}{U_3} \Leftrightarrow U_4 = \frac{U_3}{U_1} U_0 } $$
Ⅱ(2)で出た式を整理すると、
$$ \color{black}{K_4 = U_3 – U_4 = U_3 – \frac{U_3}{U_1} U_0 = \left (U_0 + \frac{1}{2} K_0 \right ) \frac{U_1 – U_0}{U_1} = \left (U_0 + \frac{1}{2} K_0 \right ) \frac{K_0}{K_0 + U_0} } $$
$$ \color{black}{ \therefore e^2 = \frac{K_4}{K_0} = \frac{2U_0 + K_0}{2(K_0 + U_0)} } $$
$$ \color{black}{ \therefore e = \sqrt{ \frac{2U_0 + K_0}{2(K_0 + U_0)} } } $$
他にも
$$ \color{black}{ \therefore K_4 = e^2 K_0} $$
とおいて、𝑒を求めるなど、いくつかの式を工夫していけば、同じ結果にたどり着けます！今何を求めているのか、ゴールを見失わないように使えない文字を使える文字に変える心で式変形していくようにしましょう。
あとがき
いかがでしたでしょうか？今回は、熱力学の細かい物理量を求めるのではなく、物理量の比や大小関係を求めていく問題でした。1つ1つ文字に置けば求められるものの、時間がかかってしまうため、「物理として何が起きているのか？」や「エネルギーがいつどこからどこに移動しているか？」を考え、式を立てていくパズルを解くような思考力が必要でしたね！大きな枠組みでの理解や文字の計算のトレーニングとしては良い問題なので、じっくり復習してみてください！